Pi ne tient qu’à un fil: une application de simulation interactive pour estimer pi

On ne voit généralement pi que comme une entité mathématique n’existant que dans les cercles et la trigonométrie, mais cette célèbre constante apparaît dans des endroits inattendus. Dans cet article, nous simulons un dispositif d’apparence modeste qui peut être utilisé pour estimer pi: un pendule. Sous ces oscillations familières se cache un lien fascinant entre les mathématiques et la physique. Donnons vie à cette idée avec une application simple grâce à laquelle nous pourrons facilement expérimenter différents paramètres et voir les maths entrer en action.

Chroniques de l’estimation de pi

Historiquement, pi a été calculé selon diverses méthodes géométriques par plusieurs cultures anciennes. Plus tard, au cours des XVII^e et XVIII^e siècles, des séries infinies telles que les formules de Gregory–Leibniz et celles proches de la formule de Machin ont permis d’avancer dans les calculs de pi, permettant aux mathématiciens de calculer jusqu’à plusieurs centaines de décimales à la main.

En s’appuyant sur les technologies modernes, le calcul de pi a atteint une précision extraordinaire, par le biais d’ordinateurs puissants et d’algorithmes avancés. Dans un article de blog précédent, nous avions montré comment la méthode de Monte Carlo pouvait également servir à estimer la valeur de pi. Aujourd’hui, des méthodes de calcul de pointe, s’appuyant sur des séries infinies à convergence rapide, telles que celles provenant de Srinivasa Ramanujan et des frères Chudnovsky (Réf. 1), nous ont permis de calculer des trillions de décimales de pi.

Le pendule simple

Dans cet article de blog, cependant, nous allons nous éloigner de toute technologie sophistiquée et nous appuyer plutôt sur une manipulation facilement reproductible dans la vie de tous les jours. Un pendule simple est constitué d’une masse (idéalement une masse ponctuelle), fixée à l’extrémité d’un fil (idéalement sans masse). La période temporelle t du balancier de ce type de pendule, c’est à dire le temps qu’il met à effectuer une oscillation dans un sens, puis dans l’autre, peut être formulée de la façon suivante:

avec L la longueur du pendule et g l’accélération due à la gravité. Si la période temporelle d’un mouvement de balancier de pendule est connue, la valeur de pi peut être estimée comme

En mesurant la période temporelle des oscillations d’un pendule, vous pouvez donc estimer la valeur de pi à partir d’observations directes. L’équation suppose un mouvement harmonique simple — ce qui n’est valide que si l’angle est suffisamment petit pour que sin⁡θ ≈ θ — elle fonctionne donc mieux pour de petits angles de lâcher. Vous remarquerez que la période temporelle est indépendante de la masse de l’objet. Pour des systèmes réels cependant, le fil aura une masse non-nulle et la masse aura un rayon non-nul. Cela signifie que la précision de l’estimation de la valeur de pi augmente lorsque le pendule s’approche du cas idéal, c’est à dire lorsque le fil a une masse négligeable, lorsque la masse est concentrée en une zone quasi-ponctuelle, et lorsque l’angle initial est petit (<15 degrés). Un pendule constitué d’un fil de longueur L et une masse de rayon R_b lâchée à un angle initial θ.

Construction de l’application de simulation

Une application de simulation basée sur un modèle COMSOL peut servir d’outil prédictif, vous permettant de voir comment différents paramètres de conception, tels que la longueur ou la masse du pendule, affectent les résultats, et ce avant de réaliser la manipulation expérimentale. Pour construire un modèle de pendule simple, nous utilisons l’interface Dynamique multicorps, disponible un produit complémentaire, le module Multibody Dynamics, et illustrée dans cet exemple de modèle de pendule double. Dans le modèle l’interface Evènements est utilisée pour suivre le nombre d’oscillations dans la simulation, grâce à une variable d’Etat discret appelée count. Le processus se fait en deux étapes, représentées par deux évènements implicites. Lorsque la vitesse de la masse selon l’axe x devient négative, count est incrémenté d’une valeur fractionnaire positive et inférieure à un. Lorsque la composante selon x de la vitesse redevient positive, count est arrondi à l’entier supérieur avec la fonction ceiling. Une condition d’arrêt est implémentée sous forme d’un autre évènement implicite qui est déclenché lorsque count atteint le nombre souhaité d’oscillations. Une fois que la simulation est terminée, le temps total de simulation (T_sim) et le nombre d’oscillations (N) sont utilisés pour calculer pi à l’aide de l’équation

Utilisons maintenant le Constructeur d’applications pour créer une application estimant pi pour différentes configurations du pendule simple. Vous pouvez facilement construire des applications personnalisées basées sur la simulation sans avoir besoin de programmation avancée en utilisant la conception de formulaire par glisser-déposer et l’Editeur de méthodes pour de courts morceaux de code. L’application sert d’outil interactif pour l’estimation de pi pour différents paramètres du pendule, en calculant la période temporelle. Cette approche la rend particulièrement utile dans des projets éducatifs. Par exemple, des professeurs pourraient utiliser la simulation pour concevoir un pendule dont la taille et la durée seraient appropriées pour des démonstrations en classe, permettant aux étudiants de mieux faire le lien entre les prédictions théoriques et les mesures expérimentales.

L’interface utilisateur de l’application.

L’application contient des curseurs pour contrôler la longueur du pendule, le rayon de la masse, l’angle initial auquel la masse est lâchée, et le nombre d’oscillations à résoudre. Elle contient également un champ dans lequel vous pouvez fournir une valeur numérique du rapport entre la masse volumique de la masse et celle du fil.

Une fois que vous avez sélectionné les paramètres souhaités pour votre pendule, cliquer sur le bouton Plot Pendulum permet de voir à quoi ressemble votre pendule avec les valeurs choisies. Le bouton Compute peut ensuite être utilisé pour lancer la simulation du pendule, au cours de laquelle la fenêtre Graphics et le graphique d’énergie sont mis à jour en temps réel. Après la résolution, l’estimation de la valeur de pi et l’erreur par rapport à la valeur réelle sont affichées pour refléter les résultats obtenus à partir du dernier calcul résolu. Nous vous invitons à partager le set de paramètres d’entrée qui vous a fourni la meilleure estimation de pi dans les commentaires ci-dessous!

Un enregistrement d’écran de l’application en cours d’utilisation.

Construire une application de ce type dans le logiciel COMSOL Multiphysics^® en s’appuyant sur le Constructeur d’applications peut se faire en tirant parti des modèles et sans avoir d’expérience poussée en programmation. De cette façon, scientifiques et équipes d’ingénierie peuvent faire le lien entre la théorie et la simulation de façon pratique pour rendre leurs modèles accessibles à des utilisateurs qui ne seraient pas familiers de la modélisation.

Prochaines étapes

Vous êtes invités à télécharger le fichier MPH avec la conception de l’application et les fichiers liés à partir de la Bibliothèque d’applications via le bouton ci-dessous!

Pour aller plus loin

Vous voulez voir comment les applications de simulation sont utilisées dans le monde réel ? Voici quelques exemples:

• Découvrez une application sur smartphone alimentée par la simulation multiphysique: Prévoir la durée de conservation des fruits grâce à des applications de simulation
• Regardez comment un professeur universitaire utilise les applications dans ses cours: Bringing Lab Courses to Remote Learning Students with Simulation Applications

Référence

1. Borwein, J.M. and Borwein, P.B., 2004. Ramanujan and Pi. In Pi: A Source Book (pp. 588-595). New York, NY: Springer New York.