Quand la chaleur s’écoule comme un fluide: étude d’une interface d’hydrodynamique des phonons

Nos deux invités Enrico Di Lucente, chercheur postdoctoral à l’université Columbia, et Michele Simoncelli, maître de conférences à l’université Columbia, expliquent comment ils ont utilisé le Constructeur de physiques de COMSOL Multiphysics^® pour créer une interface physique personnalisée dédiée à l’hydrodynamique des phonons afin d’étudier le transport de chaleur non diffusif dans des géométries réalistes.

Dans les matériaux diélectriques présentant une conductivité thermique très élevée, la chaleur peut échapper aux lois de la diffusion et se comporter comme un fluide, en formant des tourbillons, en générant des ondes de température, voire en s’écoulant localement à contre-courant du gradient de température. Dans cet article de blog, nous présentons une interface physique personnalisée dédiée à l’hydrodynamique des phonons que nous avons développée avec le logiciel COMSOL Multiphysics^®, et montrons comment la modélisation en milieu continu permet de rendre compte des phénomènes de transport de chaleur visqueux allant au-delà de la loi de Fourier.

Pourquoi modéliser la chaleur au-delà de la loi de Fourier?

La loi de Fourier constitue depuis longtemps le cadre de référence pour décrire la conduction thermique, car elle permet de rendre compte avec succès du transport thermique dans les matériaux et dispositifs courants à température ambiante et à des échelles millimétriques ou supérieures. Cependant, des études expérimentales et théoriques récentes ont montré que le modèle de Fourier peut ne plus s’appliquer dans le cas de dispositifs à l’échelle microscopique constitués de matériaux ultra-purs à haute conductivité thermique, tels que le diamant, le graphite et le nitrure de bore hexagonal.

Dans ces systèmes, les phonons — principaux vecteurs de chaleur — subissent de fréquentes collisions avec conservation de la quantité de mouvement dans certaines plages de température, pouvant s’étendre des températures cryogéniques (~70 K) jusqu’à des températures proches de la température ambiante. Ce régime est appelé “hydrodynamique des phonons”. En conséquence, le transport de chaleur devient collectif et s’apparente à un écoulement de fluide, donnant lieu à des phénomènes tels que des ondes de température (“second son”), un écoulement thermique de type Poiseuille (c’est-à-dire plus rapide au centre d’un canal et plus lent aux bords), un reflux thermique et des tourbillons de chaleur.

Pour modéliser ces effets, il faut un modèle qui aille au-delà de la diffusion de Fourier classique tout en restant applicable à des géométries réalistes. C’est précisément ce qui a motivé l’élaboration des équations du transport visqueux de la chaleur (réf. 1 et 2) et leur implémentation dans COMSOL Multiphysics^®.

Origine des équations du transport visqueux de la chaleur

À un niveau plus fondamental, les équations du transport visqueux de la chaleur trouvent leur origine dans un changement d’échelle systématique de l’équation de Boltzmann linéarisée pour le transport de phonons, où la dynamique microscopique complexe des phonons est projetée sur un petit ensemble de champs d’équilibre locaux: la température T(r,t) et une vitesse de dérive u(r,t). Cette vitesse de dérive apparaît car, en régime hydrodynamique, les collisions (normales) entre les phonons avec conservation de la quantité de mouvement l’emportent sur les processus de relaxation de la quantité de mouvement (Umklapp), ce qui permet aux phonons de transporter collectivement la quantité de mouvement cristalline. En conséquence, le transport de chaleur n’est plus régi uniquement par les gradients de température, mais également par l’évolution de ce champ de quantité de mouvement. Les équations du transport visqueux de la chaleur se composent donc de deux équations couplées:

• Une équation du bilan énergétique pour T(r,t)
• Une équation d’équilibre de la quantité de mouvement pour u(r,t), analogue aux équations de Navier-Stokes linéarisées

Il est essentiel de noter que deux coefficients de transport découlent des symétries sous-jacentes à l’équation de Boltzmann linéarisée pour le transport de phonons: la conductivité thermique (associée à la composante de parité impaire de la distribution des phonons) et la viscosité thermique (associée à la composante de parité paire). Alors que la première décrit le flux de chaleur par diffusion, la seconde rend compte de la diffusion de la quantité de mouvement et des contraintes visqueuses dans le fluide phononique, permettant ainsi l’apparition de phénomènes tels que les tourbillons thermiques, les reflux et le transport non local. Ce cadre permet de décrire naturellement la transition entre différents régimes: il se réduit à la loi de Fourier lorsque la quantité de mouvement est fortement dissipée et reprend, en tant que cas limites, des modèles hydrodynamiques proposés précédemment, comme les équations de Guyer–Krumhansl et celles à double déphasage, tout en restant pleinement applicable à des matériaux réalistes présentant des dispersions phononiques complexes.

De la théorie microscopique à un modèle continu

Au niveau microscopique, le transport de phonons est décrit par l’équation de transport de Boltzmann (ETB). Bien qu’elle permette d’établir des prévisions, l’ETB est extrêmement coûteuse à résoudre dans des géométries complexes et est donc peu adaptée à une modélisation à l’échelle des dispositifs.

Les équations du transport visqueux de la chaleur offrent une alternative mésoscopique. Elles étendent la loi de Fourier en introduisant un champ supplémentaire: la vitesse de dérive des phonons. En ce sens, elles constituent l’analogue phononique aux équations linéarisées de Navier-Stokes pour les écoulements laminaires classiques, mais appliquées aux fluides quantiques de phonons. Dans ce cadre, l’évolution de la température est couplée aux équations de conservation de la quantité de mouvement des phonons, ce qui permet au modèle de décrire naturellement la transition entre les régimes diffusifs et hydrodynamiques.

L’une des principales caractéristiques de cette approche réside dans le fait que tous les paramètres matériaux — tels que la conductivité thermique, la viscosité et les taux de relaxation — sont déterminés à partir d’une solution unique de l’équation de transport de Boltzmann linéarisée, à l’aide de calculs basés sur les principes fondamentaux. Ces paramètres sont ensuite intégrés au modèle continu, ce qui permet de réaliser des simulations efficaces dans des géométries arbitraires sans compromettre la fidélité physique, tout en conservant une précision totale en mécanique quantique et ab initio.

Mise en oeuvre des équations du transport visqueux de la chaleur pour l’hydrodynamique des phonons

Afin de rendre ce cadre accessible, nous avons développé une interface physique personnalisée à l’aide du Constructeur de physiques du logiciel COMSOL Multiphysics^®. Une fois installée, l’interface apparaît sous le nom de Viscous Heat Equations (VHE).

Fonctionnalités disponibles après l’implémentation

• Une formulation couplée température-vitesse du transport thermique
• Simulations en régime permanent et transitoires
• Conditions aux limites adaptées au flux thermique hydrodynamique
• Compatibilité avec des géométries complexes et des dispositifs mésoscopiques

Installer l’interface

L’installation suit la procédure standard du Constructeur de physiques:

• Activer le Constructeur de physiques dans les préférences de COMSOL
• Importer le fichier de développement fourni
• Ajouter l’interface Viscous Heat Equations (VHE) à partir de Mes interfaces physiques

Pour obtenir des instructions détaillées sur l’installation de cette interface, développez la section ci-dessous.

Développer ou réduire cette section…

Exemple 1: Diffusion de Fourier vs. Transport de chaleur hydrodynamique

Pour illustrer les différences qualitatives entre le transport de chaleur par diffusion et le transport de chaleur visqueux, considérons une géométrie simple composée de deux rectangles. Un gradient de température vertical est appliqué sur le domaine principal, tandis qu’une petite région latérale y est reliée.

Selon la loi de Fourier, la chaleur s’écoule directement du chaud vers le froid, produisant des isothermes régulières. Lorsque l’on utilise à la place les équations du transport visqueux de la chaleur, un tableau très différent se dessine: la chaleur recircule dans le domaine plus petit, formant des motifs de type vortex et produisant un reflux thermique faible mais de valeur finie. Nous présentons ci-dessous la comparaison des profils de température en régime permanent obtenus à l’aide de la loi de Fourier (à gauche) et des équations du transport visqueux de la chaleur (à droite), illustrant la recirculation hydrodynamique et le reflux thermique.

Exemple 2: Tourbillons thermiques dans la limite incompressible

La nature hydrodynamique du transport de chaleur apparaît encore plus clairement dans la limite d’écoulement incompressible des équations du transport visqueux de la chaleur. Dans ce régime, la divergence de la vitesse de dérive des phonons s’annule, et le transport de chaleur est dominé par le transport de la quantité de mouvement plutôt que par la diffusion.

Les simulations montrent la formation spontanée de tourbillons thermiques en régime permanent (réf. 3) — un comportement totalement absent des modèles purement diffusifs.

Nous présentons ci-dessous les profils de température en régime permanent dans le régime diffusif (en haut) et dans la limite hydrodynamique incompressible (en bas), en mettant en évidence la formation de tourbillons et le reflux de chaleur (réf. 3).

Simulations temporelles: la chaleur hydrodynamique en mouvement

L’interface prend également en charge les simulations entièrement transitoires. En appliquant des conditions aux limites dépendantes du temps — telles que des vitesses de dérive oscillantes ou des gradients de température alternés — il est possible d’observer la formation, le mouvement et l’inversion de tourbillons thermiques au fil du temps.

Ces simulations montrent que la chaleur se comporte en grande partie comme un fluide visqueux en mouvement, réagissant de manière dynamique aux forces externes.

Pourquoi est-ce important?

Cette interface constitue un lien pratique entre la théorie du transport à l’échelle microscopique et la modélisation en milieu continu. Elle permet d’étudier le transport thermique non diffusif dans des géométries réalistes auxquelles les méthodes entièrement microscopiques ne peuvent pas accéder.

En permettant de modéliser le transport hydrodynamique de la chaleur dans COMSOL Multiphysics^®, cette interface ouvre de nouvelles perspectives pour l’étude des phénomènes thermiques dans les matériaux et dispositifs de nouvelle génération.

Pour en savoir plus sur cette interface et la télécharger, rendez-vous sur sa page Échange d’applications: Phonon Hydrodynamics Interface.

À propos des auteurs invités

Enrico Di Lucente est chercheur postdoctoral au département de physique appliquée et de mathématiques appliquées de l’université Columbia, à New York, où il est également affilié au département de science et d’ingénierie des matériaux. Il a rejoint le groupe de recherche du professeur Michele Simoncelli en décembre 2025, immédiatement après avoir obtenu son doctorat au sein du groupe Theory and Simulation of Materials (THEOS) de l’EPFL, sous la direction du professeur Nicola Marzari. Il a soutenu sa thèse de doctorat intitulée Theoretical and Computational Advances in Quantum and Hydrodynamic Thermal Transport.

Ses recherches portent sur le transport thermique au-delà de la loi de Fourier, l’hydrodynamique des phonons et la modélisation par les principes fondamentaux du transport de chaleur et d’autres excitations fondamentales et couplées dans la matière condensée, allant des magnons aux interactions lumière-matière. Ses travaux font le lien entre la théorie du transport à l’échelle microscopique et la modélisation en milieu continu, dans le but de permettre des simulations prédictives du transport thermique non diffusif dans des matériaux et des géométries de dispositifs réalistes. Elles visent également à orienter les efforts expérimentaux vers la conception de dispositifs innovants capables de détecter des phénomènes de transport quantique non standard, avec un impact potentiel sur des technologies émergentes telles que l’électronique, le stockage d’énergie, le blindage de fusion, la spintronique et l’hypersonique. Ses intérêts de recherche plus généraux portent sur la physique de la matière condensée, la physique numérique, le transport quantique et le magnétisme.

Michele Simoncelli est maître de conférences au département de physique appliquée et de mathématiques appliquées de l’université Columbia depuis janvier 2025. Son groupe développe le cadre théorique et numérique permettant de comprendre, de décrire quantitativement et de contrôler les phénomènes de transport quantique dans les matériaux, notamment ceux liés à la charge, à la chaleur, à la lumière et au spin, ainsi que leurs synergies ou conflits potentiels et les signatures macroscopiques associées. Avant de rejoindre Columbia, il a été titulaire d’une Crone Research Fellowship au département de physique de l’université de Cambridge (2021-2024). Il y a travaillé sur la théorie quantique fondamentale et les méthodes de calcul permettant de décrire l’émergence de propriétés hybrides cristal-verre dans des matériaux présentant des degrés contrôlés de désordre atomistique, par exemple au niveau de la composition chimique, de la topologie du réseau de liaisons ou de la géométrie. Il a obtenu son doctorat à l’EPFL (Suisse) en 2021 sous la direction de Nicola Marzari, présentant dans sa thèse de nouvelles théories microscopiques et mésoscopiques du transport thermique dans les solides: l’équation de transport de Wigner, qui généralise l’équation semi-classique de Peierls-Boltzmann, et les équations du transport visqueux de la chaleur, qui généralisent la loi de Fourier.

Remerciements

Le développement de l’interface physique sur mesure et les travaux théoriques sous-jacents ont bénéficié des échanges et de la collaboration avec Zhiyi Wang (Université Grenoble Alpes; THEOS, EPFL) et le professeur Nicola Marzari (THEOS, EPFL; Theory of condensed matter, Laboratoire Cavendish, Université de Cambridge).

Références

1. M. Simoncelli, N. Marzari, and A. Cepellotti, Generalization of Fourier’s law into viscous heat equations, Physical Review X 10, 011019 (2020); https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.10.011019
2. Dragašević, B. Rajkov, and M. Simoncelli, Viscous heat backflow and temperature resonances in extreme thermal conductors. Physical Review Letters 136, 186302 (2026); https://doi.org/10.1103/nbbn-56hr
3. Di Lucente, F. Libbi, and N. Marzari, Vortices and backflow in hydrodynamic heat transport, Physical Review Letters 136(5), 056307 (2026); https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/g9dx-hjyn