Utiliser des modèles 3D pour analyser les effets inductifs dans un câble sous-marin

Le remplacement d’un câble sous-marin défectueux peut s’avérer extrêmement coûteux (potentiellement plus de 100 millions de dollars américains), ce type de câble est donc conçu pour durer plus de quarante ans. Pour garantir un bon retour sur investissement, le secteur industriel adopte généralement une approche prudente: il s’appuie fortement sur des règles empiriques, des marges de sécurité, des analyses de cycle de vie et des normes telles que celles fournies par la Commission électrotechnique internationale (CEI). Cependant, ces marges de sécurité et ces normes ont tendance à entraîner une surestimation des dimensions et des matériaux nécessaires. Sur un marché concurrentiel, les fournisseurs de câbles recherchent des solutions plus rentables.

Notez que dans cet article de blog, nous abordons les deux dernières parties de la Cable Tutorial Series en 8 parties, qui se concentrent sur la modélisation de câbles en 3D. Cette série aborde de nombreux aspects de la modélisation de câbles, en 2D, 2.5D et 3D, à l’aide de COMSOL Multiphysics® et du module AC/DC. Les six premières parties de cette série de tutoriels ont été présentées dans un précédent article de blog : Modeling Cables in COMSOL Multiphysics®: An 8-Part Tutorial Series.

Des progrès rapides dans la modélisation des câbles

Il y a encore quelques années, seuls les experts utilisant des codes spécialisés sur des clusters de grande capacité pouvaient exploiter des modèles 3D détaillés de câbles. Aujourd’hui, toute personne disposant d’un ordinateur de bureau moderne est en mesure de simuler un modèle 3D de câble doté d’une armure magnétique torsadée en environ une demi-heure. La construction de la géométrie, le maillage, la résolution et le post-traitement s’effectuent tous de manière conviviale dans l’environnement de travail du logiciel COMSOL Multiphysics®.

La densité des pertes résistives et magnétiques dans les phases, les écrans métalliques et l’armure d’un câble triphasé sous-marin HVAC, à isolation XLPE et gaine de plomb, à une température nominale de phase de 90°C.

Par conséquent, dans l’industrie des câbles de puissance, les modèles 3D de câbles sont en train de remplacer progressivement les modèles empiriques tels que ceux fournis par les normes CEI. Pour les cas d’utilisation courants, ces normes permettent aux fabricants de respecter certaines spécifications. Pour les utilisateurs de systèmes de câbles, elles permettent d’évaluer les conditions de fonctionnement requises, les limitations du système qui en découlent, etc.

Alors que les normes s’appuient sur des modèles empiriques et des décennies d’expérience, les modèles numériques permettent quant à eux de résoudre les équations de Maxwell de manière très détaillée. L’avantage évident est qu’ils permettent d’étudier des dispositifs pour lesquels il n’existe aucune norme officielle. De plus, les modèles numériques offrent un moyen d’obtenir une compréhension détaillée des phénomènes physiques en jeu, et vont ainsi au-delà des normes. Cela permettra de réduire les coûts des matériaux et de fabrication et d’accroître l’efficacité du système, tout en conservant une marge de sécurité suffisamment importante. Sur le marché concurrentiel des câbles, l’analyse numérique est considérée comme un atout essentiel.

Géométrie et maillage des modèles 3D de câbles torsadés

Pour les grands modèles 3D par éléments finis, la mise en place de la géométrie et du maillage peut facilement représenter la majeure partie du temps consacré à la modélisation (temps utilisateur et non temps machine), spécifiquement pour des modèles de câbles torsadés présentant des longueurs de pas de câblage distinctes, comme celui présenté ici. Même en utilisant des conditions de périodicité torsadée, la géométrie présentera des rapports d’aspect extrêmes. Cela signifie que si vous utilisiez simplement de manière générique un maillage tétraédrique libre et isotrope, le nombre de degrés de liberté (DDL) dépasserait facilement les trente millions!

Un solveur itératif pourrait peut-être gérer cela sans trop consommer de mémoire, mais en trouver un capable de résoudre le modèle de manière fiable et efficace est plus facile à dire qu’à faire. L’utilisation d’un solveur direct s’avère être une meilleure option, mais pour qu’il fonctionne correctement sur du matériel relativement peu coûteux (comme un ordinateur de bureau doté de 32 Go de RAM et de plusieurs centaines de gigaoctets d’espace d’échange sur SSD), le nombre de degrés de liberté devra être réduit à environ 2 à 4 millions. Heureusement, les solveurs directs sont plus tolérants que les solveurs itératifs en ce qui concerne les maillages anisotropes.

A gauche: La géométrie 3D d’un cable triphasé à gaine de plomb et armure torsadée. A droite: Le maillage extrudé dans les phases, les écrans et l’armure (un maillage tétraédriques avec des éléments étirés est utilisé pour la zone de vide entre les écrans et l’armure).

Par conséquent, le problème consiste à trouver un maillage capable de représenter correctement la géométrie du câble et les phénomènes physiques, tout en présentant un nombre de degrés de liberté suffisamment faible pour que le modèle puisse être résolu en un temps raisonnable sur un ordinateur de bureau standard. Le tutoriel Geometry & Mesh 3D (7e partie de la série de tutoriels) vous montre comment traiter efficacement ce problème. Ce tutoriel aborde divers sujets liés à la géométrie et au maillage, notamment comment:

1. Créer les conducteurs de forme hélicoïdale à l’aide de la séquence géométrique de COMSOL
2. Utiliser des filtres de sélection astucieux pour les domaines et les frontières afin de faciliter considérablement la mise en données du modèle
3. Mettre en place une stratégie de maillage efficace et robuste

Lors de la définition de la géométrie, on utilise des facteurs de correction géométriques, tels que des facteurs de correction d’inclinaison et de troncature. Cela permet d’obtenir la meilleure précision possible tout en minimisant l’effort de calcul. Par ailleurs, l’article aborde les maillages par extrusion, les maillages tétraédriques avec des éléments étirés, les maillages de couches limites ainsi que la conformité des maillages.

Utilisation de modèles 3D pour analyser les effets inductifs dans un câble sous-marin

Le tutoriel Inductive Effects 3D (dernière partie de la série) vous montre un aperçu complet des aspects à prendre en compte lors de la modélisation en 3D d’un câble sous-marin XLPE HVAC. Bien que les modèles 2D et 2.5D soient très utiles pour la conception des câbles, ils ne permettent pas de rendre compte des interactions complexes entre les phases, les écrans et l’armure avec la même précision qu’un modèle 3D. Pourquoi? En général, les phases et l’armure sont torsadées avec des longueurs de pas de câblage différentes, et dans des sens opposés. Cette torsion opposée fait apparaître une composante longitudinale de la densité de flux magnétique dans l’armure : le flux magnétique suit alors une trajectoire hélicoïdale plutôt que circulaire (voir l’image ci-dessous). Ce phénomène, et les effets qui y sont liés, ne peut être étudié qu’à l’aide de modèles 3D torsadés complets.

A gauche: la trajectoire prise par les lignes de flux magnétiques (elles suivent un fil de l’armure sur une certaine distance puis passent d’un fil à l’autre). A droite: la densité de flux magnétique longitudinale qui en résulte.

Examinons maintenant certains des sujets abordés dans la 8ème partie de la série de tutoriels sur les câbles…

Le modèle 2D extrudé

Cette section explique comment créer un modèle 3D de câble qui devrait être parfaitement équivalent au modèle 2D: une simple extrusion, sans torsion. A première vue, cet exercice peut sembler inutile, mais il vous apporte en réalité une multitude d’informations! Le modèle 3D a été grandement simplifié par rapport au modèle 2D et utilise des fonctions de forme du premier ordre au lieu de celles du second ordre (ce qui signifie que la solution sera linéaire par morceaux au lieu d’être quadratique). Ces mesures sont nécessaires pour que le modèle 3D reste exploitable, mais elles ont un coût. En créant un modèle 3D qui devrait, en théorie, produire les mêmes résultats que le modèle 2D, vous pouvez étudier l’impact des simplifications utilisées. Cette comparaison vous fournit une borne inférieure de la précision réelle des modèles 3D (environ 0.2 à 0.5 %), sans même avoir besoin d’une mesure réelle (celles-ci ont d’ailleurs elles aussi une précision limitée).

Un autre avantage majeur de cette étape de modélisation est qu’elle vous permet de tester votre modèle avant de passer sur une géométrie réelle: à ce stade, comme la géométrie n’est pas torsadée, aucune longueur spécifique n’est requise pour respecter la périodicité du torsadage. Alors que le modèle torsadé devra avoir une longueur égale au cross pitch du câble, le modèle 2D extrudé est conçu pour être dix fois plus court. Le calcul s’effectue en une minute au lieu d’une demi-heure, ce qui vous permet de réaliser rapidement des tests et de vérifier la cohérence du modèle. Une fois cette étape terminée, la géométrie entièrement paramétrée vous permettra de passer d’un simple clic à une géométrie torsadée complète en 3D.

Une bonne pratique en matière de modélisation consiste à tester et à valider vos modèles dans une configuration simplifiée (de préférence en 2D) avant de passer au modèle complet. Vous devez d’abord vous assurer que votre simulation numérique est suffisamment robuste, efficace et précise pour répondre à vos besoins. Déjà à ce stade, vous en apprendrez beaucoup sur le comportement de base de votre dispositif, et sur les possibilités de réduire les coûts, par exemple. Par la suite, vous pourrez facilement pousser vos modèles au-delà de ce que permettent les prototypes ou les mesures traditionnelles, notamment grâce à des analyses paramétriques et à de l’optimisation automatique.

Le modèle 3D torsadé

En prenant en compte le torsadage, on entre dans une autre dimension dans la modélisation des câbles. Tout d’abord, il faut disposer d’une périodicité adaptée. La longueur de périodicité du câble est déterminée par la longueur de pas de câblage des phases et de l’armure (dans ce cas précis, elle est d’environ 1.6 mètre). La périodicité ne consiste cependant pas en une simple projection d’un plan de périodicité à un autre. Elle inclut en effet un torsadage. La périodicité linéaire (sans prendre en compte le torsadage) du câble peut atteindre jusqu’à quarante mètres ! C’est pourquoi la périodicité torsadée est un sujet récurrent dans les publications récentes consacrées aux câbles.

Animation montrant les courants dans les phases, les écrans et l’armure, les flux et les pertes dans l’armure, la distribution de température et la structure du maillage.

Le comportement du câble est désormais modifié. Le flux magnétique développe une composante longitudinale dans l’armure, et les courants qui y sont induits se développent sous forme de petits tourbillons encerclant l’axe central de chaque fil de l’armure. Le torsadage ramène à zéro le courant longitudinal total par fil d’armure, mais il ne contraint pas les courants localement. Par conséquent, les courants longitudinaux circulent dans le sens positif en étant du côté intérieur du fil de l’armure (là où se trouvent les phases et les écrans), puis reviennent en sens inverse du côté extérieur (là où la force électromotrice provenant des phases est plus faible). Cet effet est reproduit avec succès par les modèles 2.5D présentés dans la quatrième partie de cette série. Les tourbillons circulaires, en revanche, ne sont visibles qu’en 3D.

Les courants transversaux forment des tourbillons dans la section des fils (les cônes); les courants longitudinaux circulent dans les deux sens et présentent une moyenne nulle (les gradients).

Résistivité linéarisée en 3D

Les effets thermiques constituent un aspect important de la modélisation des câbles. Les câbles sous-marins fonctionnent généralement à des températures comprises entre 80 et 90 °C, et les propriétés matériau qui les composent dépendent de la température. Une méthode très efficace pour traiter les effets thermiques en 3D consiste à récupérer les températures issues d’un modèle de chauffage par induction en 2D (comme illustré dans la 6e partie de cette série) et à les utiliser pour définir vos propriétés matériau dépendantes de la température en 3D. Cette technique peut être considérée comme une correction au premier ordre des températures. Vous pouvez, si vous le souhaitez, répéter la procédure suivante:

1. Calculer les pertes moyennes dans les phases, les écrans et l’armure en 3D
2. Les utiliser comme source de chaleur dans un modèle 2D de thermique
3. Résoudre le champ de température, puis…
4. Utiliser les températures moyennes dans les phases, les écrans et l’armure pour mettre à jour les propriétés de vos matériaux en 3D

Dans COMSOL Multiphysics, vous pouvez même opter pour un modèle hybride 3D/2D de chauffage par induction, entièrement couplé si vous le souhaitez (ou même pour un modèle entièrement 3D). Dans les deux cas, vous constaterez que les températures convergent très rapidement: la correction au premier ordre de la température est largement suffisante dans la plupart des cas. Elle réduit une erreur initiale d’environ 10 à 20 % à seulement 0.2 %.

Résultats obtenus à partir du modèle 3D torsadé avec une correction au premier ordre de la température, comparés à ceux du modèles 3D torsadé sans chauffage et à ceux du modèle 2D de chauffage par induction entièrement couplé.

La variation de la résistivité entraîne un rééquilibrage du câble. Les conducteurs actifs sont pilotés en intensité, ce qui provoque une augmentation des pertes locales. Les conducteurs passifs, en revanche, sont pilotés en tension, ce qui entraîne une diminution des courants induits locaux et des pertes associées. À cela s’ajoutent plusieurs effets de redistributions (waterbed effects). À titre d’illustration: en raison de la diminution des courants de Foucault dans l’armure, le flux magnétique pénètre plus facilement dans les fils de l’armure, ce qui entraîne une augmentation des pertes magnétiques. A une température nominale de phase de 90 °C, celles-ci représentent environ 75 % des pertes totales dans l’armure.

A gauche: la densité de pertes volumétriques dans l’armure et les écrans après l’application d’une correction au premier ordre de la température. A droite: la densité de courant longitudinal dans l’armure, avant l’application du terme de compensation.

Stabilisation compensée

La conductivité électrique est sans doute l’une des propriétés matériau présentant la plus grande plage de valeurs observées dans la nature. Le polyéthylène réticulé (XLPE) présent dans le câble a une conductivité électrique d’environ 1e-18 S/m, tandis que celle du cuivre est de 6e+7 S/m, soit un écart de 6e+25 ! Afin de garantir la stabilité numérique du modèle, on attribue aux isolants une conductivité artificielle de 50 S/m. Pour un modèle inductif comme celui-ci, 50 S/m s’avère être une approximation parfaitement raisonnable de zéro (ce qui donne un bon “isolant”). Tout comme, pour les modèles capacitifs, 1 S/m peut déjà constituer une bonne approximation d’un “conducteur” (pour en savoir plus sur les propriétés capacitives du câble, voir la partie 2 de la série de tutoriels).

Afin de démontrer que 50 S/m est une valeur raisonnable, le modèle est résolu à l’aide d’une technique qui compense les courants de fuite résultants. Tout d’abord, les courants totaux longitudinaux de l’armure (intégrés sur la section transversale du fil de l’armure) sont évalués pour montrer qu’il existe bel et bien un courant de fuite entre les fils (voir l’image ci-dessus). Ensuite, le modèle est résolu une seconde fois. Cette fois-ci, on ajoute un courant artificiel égal, de signe opposé, au courant de fuite (un peu comme si l’on installait une “pompe”, pour compenser). En conséquence, les pertes artificielles dans les isolants passent de 0.1 kW/km (ce qui est déjà négligeable par rapport à la perte globale) à 0.0002 kW/km. Tout comme les corrections d’ordre supérieur de la température, cette technique peut généralement être ignorée. Elle constitue néanmoins un outil utile si vous souhaitez effectuer des vérifications supplémentaires.

Remarque: ces pertes dans les isolants sont liées à la stabilisation numérique. Elles diffèrent des pertes diélectriques tan(δ) habituellement utilisées dans les modèles capacitifs. Notez également qu’il existe d’autres approches numériques qui ne nécessitent pas un tel niveau de stabilisation. Celles-ci requièrent toutefois généralement beaucoup plus de ressources de calcul, ce qui rend le processus de modélisation moins efficace. L’objectif n’est donc pas d’obtenir un modèle aussi précis que possible, mais de disposer d’un modèle offrant un bon retour sur investissement.

Autres manières d’utiliser la série de tutoriels sur les câbles

Croyez-le ou non, la série de tutoriels sur les câbles ne concerne pas uniquement les câbles. Elle aborde l’électromagnétisme et l’analyse numérique, les bonnes pratiques d’ingénieur, la compréhension et l’application de la théorie, la validation des résultats, ainsi que la présentation de ces derniers de manière à la fois attrayante visuellement et informative.

L’exemple du câble triphasé à armure magnétique torsadé est idéal pour illustrer divers phénomènes électromagnétiques et numériques dans le cadre de cours dispensés à l’université ou dans le secteur industriel. De nombreux câbles sont standardisés, ce qui signifie que leurs propriétés physiques sont disponibles dans la littérature, vous permettant de valider les résultats de vos modélisations. En parallèle, les câbles font l’objet de recherches permanentes, ce qui en fait un sujet passionnant tant pour les étudiants en école d’ingénieurs que pour les étudiants universitaires.

Prochaines étapes

Découvrez la série de tutoriels en 8 parties consacrée aux câbles en cliquant sur le bouton ci-dessous. Vous pouvez passer directement aux parties 7 et 8 pour étudier les effets inductifs dans le modèle 3D de câble.

Consultez les parties 1 à 6 de cette série de tutoriels ici : Modeling Cables in COMSOL Multiphysics®: 8-Part Tutorial Series