Cette année marque le 250ème anniversaire de la Déclaration d’indépendance des États-Unis, et la Liberty Bell — symbole de liberté, célèbre pour sa fêlure caractéristique — constitue un cas d’étude à la fois important d’un point de vue historique et intéressant sur le plan physique pour la simulation. Dans cet article de blog, nous utiliserons le logiciel COMSOL Multiphysics® pour analyser plusieurs aspects fascinants de la Liberty Bell, notamment ses modes structurels (avec et sans fêlure). Nous apporterons également un nouvel éclairage sur les propriétés des matériaux à l’aide de la quantification des incertitudes et nous tenterons de concevoir une cloche parfaitement accordée grâce à l’optimisation de forme.
La cloche qui a inspiré la simulation
Lors d’un récent séjour à Philadelphie à l’occasion d’un congrès de l’Acoustical Society of America, j’ai visité l’exposition consacrée à la Liberty Bell ce qui m’a rappelé certains aspects de son histoire. Lors de ce congrès, j’ai également eu l’agréable surprise de découvrir des travaux de recherche passés (Réf. 1) et en cours (Réf. 2-3) portant sur l’acoustique structurelle de la cloche.
La Liberty Bell. Photo de William Zhan — Oeuvre originale. Sous licence CC BY 2.0, via Flickr Creative Commons.
La Liberty Bell a été commandée pour le Pennsylvania State House et fondue par la Whitechapel Bell Foundry à Londres (Réf. 4). La cloche d’origine importée s’est fissurée lors de son premier essai de sonnerie et a été refondue sur place par John Pass et John Stow. La célèbre fêlure visible aujourd’hui est une caractéristique ultérieure de la cloche refondue; selon le National Park Service (Réf. 4), son origine exacte n’est pas consignée, mais une fine fissure s’est probablement formée au début des années 1840 et a été élargie en 1846 par des métallurgistes afin d’empêcher qu’elle ne s’étende davantage. Aujourd’hui, la Liberty Bell est considérée comme un symbole national. Elle est actuellement exposée au Liberty Bell Center au sein de l’Independence National Historical Park, à Philadelphie, en Pennsylvanie.
Modéliser la Liberty Bell
Notre premier objectif, en tant qu’ingénieurs en simulation spécialisés dans l’acoustique structurelle, est de calculer les modes structurels de la cloche. Pour ce faire, nous aurons besoin de certaines propriétés de base du matériau, de la géométrie et des paramètres physiques avec les conditions aux limites. Les propriétés du matériau dit “bronze pour cloches” peuvent varier considérablement, mais pour l’instant, nous supposerons que le module d’élasticité, la masse volumique et le coefficient de Poisson sont constants (E = 120\, \textrm{GPa}, \rho = 8800\,\textrm{kg/m\^{}3}, \nu = 0.34) et nous utiliserons une loi de comportement matériau élastique linéaire. Les cloches étant conçues pour sonner, leur amortissement structurel est assez faible; nous le négligerons donc pour le calcul des modes.
La géométrie de la cloche revêt une grande importance. En effet, l’acoustique des cloches d’église a fait l’objet d’analyses approfondies, et les fonderies de cloches accordent généralement les cinq premiers modes selon des rapports précis afin d’obtenir un accord optimal. Les noms des cinq premiers modes ainsi que les rapports de fréquence d’une cloche bien accordée (Réf. 5) sont les suivants: le bourdon (0.5f_0); la fondamentale, également appelée “premier partiel” (f_0); la tierce mineure (1.2f_0); la quinte (1.5f_0); et la nominale (2.0f_0). On ignore si la Liberty Bell a été accordée, et avec quelle précision, ce qui constitue l’une des questions sur lesquelles portera la première simulation.
Afin d’obtenir une géométrie réaliste, nous utiliserons un scan 3D d’une réplique de la Liberty Bell (voir image ci-dessous). Ce scan est un maillage de surface qui contient toutes les inscriptions, la structure de fixation, le battant ainsi que certains défauts issus du scan. Cependant, à l’aide des outils géométriques de COMSOL®, nous extrayons une section transversale représentative et nous obtenons la géométrie solide en appliquant une révolution sur cette section. Nous ignorerons également certaines caractéristiques, car elles ajouteraient de la complexité et ne devraient pas contribuer de manière significative aux modes de résonance de la cloche.
À gauche: géométrie de la réplique de la Liberty Bell, issue d’un scan 3D réalisé par le laboratoire VAR de Penn State Behrend, sous licence CC BY 4.0 International. À droite: la géométrie a été modifiée et simplifiée en vue de la simulation.
Pour la physique, nous utilisons l’interface Mécanique du solide et conservons la condition aux limites par défaut Libre sur toutes les frontières. Une étude de fréquences propres est utilisée pour calculer uniquement les cinq premiers modes de la structure. Le modèle prédit une fréquence fondamentale de f_0=336\,\textrm{Hz}. Par rapport à une cloche parfaitement accordée, la réplique présentant les propriétés de référence est légèrement désaccordée (voir les rapports harmoniques ci-dessous). Il convient également de noter que chacun de ces modes possède une paire orthogonale (mode dégénéré à la même fréquence), ce qu’il sera important de garder à l’esprit pour l’analyse ultérieure.
Les cinq premières fréquences propres et leurs déformées modales correspondantes.
Quantification des incertitudes
Jusqu’à présent, nous avons calculé les modes en partant de certaines propriétés de référence. Les propriétés élastiques et de masse de la cloche en bronze ne sont toutefois pas bien documentées. De plus, sa composition peut varier en fonction du mélange d’alliages spécifique utilisé pour la coulée. Une question s’impose naturellement: Quel est l’effet des incertitudes liées aux propriétés des matériaux sur les fréquences propres? Il est possible de répondre à cette question à l’aide du module Uncertainty Quantification, un add-on de COMSOL Multiphysics®.
Au lieu de définir des propriétés matériau à valeurs discrètes, nous allons définir des plages de distribution pour celles-ci. Plus précisément, nous fixons ces propriétés de manière à ce qu’elles soient uniformément distribuées sur les plages suivantes: E = 85-125\, \textrm{GPa}, \rho = 8400-9000\,\textrm{kg/m\^{}3}, \nu = 0.30-0.34. Nous utiliserons l’étude Propagation d’incertitude ainsi qu’une étude de référence sur les fréquences propres afin de déterminer un intervalle de prédiction à 95% pour les modes d’intérêt. La méthode utilise un modèle de substitution afin de calculer efficacement les incertitudes.
Les résultats de l’analyse nous fournissent des barres d’erreur correspondant à la plage attendue des fréquences propres. À partir de ces résultats, on constate que la variation augmente à mesure que le numéro de mode augmente (allant de ±17 Hz pour le bourdon jusqu’à ±60 Hz pour la nominale). De plus, les mesures expérimentales de la Réf. 1 présentent des modes qui s’inscrivent bien dans la plage définie par les barres d’erreur, ce qui nous conforte dans l’idée que nous avons raisonnablement cerné les propriétés de la cloche.
Les fréquences propres moyennes (en bleu) et l’intervalle de confiance à 95% (barres d’erreur noires) pour les fréquences propres de la cloche, en supposant des distributions uniformes pour la masse et les propriétés élastiques du matériau.
Et la fêlure alors?
Une cloche fêlée peut encore vibrer et émettre du son, mais la fêlure peut modifier considérablement son caractère tonal. Pour étudier ce phénomène, nous ajoutons une fissure de 1 mm à la géométrie, dont l’emplacement est qualitativement similaire à celui de la grande fêlure. La fissure réduit localement la rigidité et rompt l’axisymétrie de la structure, ce qui entraîne un dédoublement des modes. Les paires de modes auparavant dégénérées se séparent, produisant 10 fréquences propres distinctes sur la plage de fréquences considérée (illustré ci-dessous à droite). Cela se traduit bien sûr par des modes très différents de ceux prévus par les directives de conception et manquant d’harmonie.
Modes de vibration de la structure fêlée: géométrie fêlée et modes nominaux (à gauche) et tous les modes calculés pour la cloche fêlée et la cloche de référence (à droite).
Accorder la cloche
La simulation peut-elle permettre de créer une cloche quasi parfaite? Nous pouvons formuler un problème d’optimisation de forme pour y répondre. Les contours de la cloche peuvent se déformer librement afin de minimiser la fonction objectif, à savoir le carré de la différence entre les fréquences propres calculées et les fréquences ciblées. L’optimisation de forme s’effectue sur 20 itérations, et le résultat est une nouvelle conception qui atteint les fréquences cibles avec une erreur inférieure à 0.02% pour toutes les fréquences! En substance, elle est capable de respecter presque parfaitement les recommandations de la Réf. 5. Il est intéressant de noter que la nouvelle forme ressemble étroitement à la forme de référence, ce qui permet de vraiment apprécier la haute précision requise dans le moulage et l’usinage des cloches pour obtenir une qualité acoustique élevée.
Résultat de l’optimisation de forme: demi-vue axisymétrique de la section de la cloche, montrant la géométrie de référence (en rouge) et la géométrie optimisée (en vert).
Interaction acoustique-structure
Pour finir, nous modélisons la réponse en rayonnement acoustique de la réplique simplifiée de la Liberty Bell à l’aide de l’interface Interaction acoustique-solide, domaine fréquentiel. Nous supposons également un facteur de perte de \eta = 0.001. Une condition aux limites de chargement est appliquée sur une zone représentative de l’endroit où le battant viendrait frapper. Le modèle calcule les champs complets de déplacement, de contrainte et de déformation, ainsi que la pression acoustique et le niveau de pression acoustique (SPL, pour Sound Pressure Level) résultant de cette force.
SPL en fonction de la fréquence pour un observateur situé à proximité de la cloche, au point (0,0,-2 m).
Les résultats peuvent être animés sur un cycle acoustique afin d’obtenir une vue d’ensemble complète des phénomènes vibroacoustiques.
Ressources complémentaires
Dans cet article de blog, nous avons présenté plusieurs simulations acoustiques structurelles de la Liberty Bell. Cependant, les possibilités ne s’arrêtent pas là. La simulation peut être utilisée pour étudier de nombreux autres aspects de la cloche, notamment: la propagation du son émis par la Liberty Bell et la distance à laquelle elle peut être entendue, la propagation dynamique des fêlures provoquée par des chocs répétés, ainsi que la solidification du métal en fusion lors du processus de coulée de la cloche.
Vous trouverez ci-dessous des informations complémentaires sur les sujets techniques abordés dans cet article de blog:
- Performing Optimization in COMSOL Multiphysics
- Introduction to Uncertainty Quantification
- Getting Started with Modeling Structural Mechanics
- Introduction to Modeling Acoustic-Structure Interactions
Références
- G.H. Koopmann et al., “Tuning a Replica of the Liberty Bell via Material Tailoring: An Application of a Method for Optimal Acoustic Design.” ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition, vol. 35517, American Society of Mechanical Engineers, 2001.
- J. Young, S. Collier, A. Stearns, and E. Brown, “Modes of America: Computational Acoustics and the Sound of the Liberty Bell,” Presented at the 190th Meeting of the Acoustical Society of America (ASA), Philadelphia, PA, 2026.
- S. Collier, J. Young, A. Stearns, and E. Brown, “Modal Analysis of a Liberty Bell Replica,” Presented at the 190th Meeting of the Acoustical Society of America (ASA), Philadelphia, PA, 2026.
- “The Liberty Bell,” June 2025; https://www.nps.gov/inde/learn/historyculture/stories-libertybell.htm.
- Thomas D. Rossing and Robert Perrin, “Vibrations of Bells,” Applied Acoustics, vol. 20.1, pp. 41–70, 1987.
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