Quelle est la fiabilité de votre résistance?

Si vous débutez dans la quantification des incertitudes (UQ), cet article de blog introduit le concept à travers un exemple simple de résistance. Nous allons parcourir quatre des types d’études proposées par le module Uncertainty Quantification, incluant le screening, la sensibilité, la propagation et la fiabilité, dans le contexte de la conception d’une résistance.

Qu’est-ce que l’incertitude et pourquoi les ingénieurs devraient-ils s’en préoccuper?

Pensez à Roberto Baggio, le footballeur d’élite qui a raté un pénalty décisif lors de la finale de la Coupe du monde 1994 de la FIFA^®. La cause de cet échec dramatique se trouve certainement parmi les variables cachées: le caractère aléatoire de la force et de l’angle de la frappe, l’humidité affectant la surface du ballon, et le chaos dans l’écoulement ambiant. Chacun de ces minuscules et imprévisibles facteurs peut altérer le dénouement. En tant qu’êtres humains, nous ne pouvons pas garantir une précision absolue de nos mouvements ni contrôler l’ensemble des variables dans notre environnement — il en est de même pour les machines.

Le Rose Bowl à Pasadena, Californie, a été l’hôte de la finale de la Coupe du monde 1994 de la FIFA^®. Ce fichier est disponible sous licence CC BY-SA 2.0 via Wikimedia Commons.

Dans la conception technique et la production, nous sommes souvent confrontés à des variations faibles et incontrôlables qui peuvent altérer les performances de nos créations. Tout comme le coup de pied de Baggio a été influencé par des facteurs extérieurs, une résistance, un circuit, un smartphone — ainsi qu’à peu près n’importe quel produit — peuvent être affectés par des variations dans les matériaux, les dimensions ou encore les conditions environnementales lors de la fabrication. Ces incertitudes peuvent s’accumuler et potentiellement mener à la défaillance du produit, à des problèmes de rendement, ou encore aux tolérances que vous pouvez observer sur les fiches de spécification (comme celles sur les résistances à couche métallique par exemple).

C’est l’histoire d’une bande de résistances qui entre dans un laboratoire…

Si vous avez déjà bricolé des dispositifs électroniques, vous avez certainement rencontré ces petits composants cylindriques parés de bandes colorées: les résistances. Ces bandes ne sont pas là que pour le style — elles encodent à la fois la valeur de la résistance et sa tolérance, comme vous pouvez le voir sur la Figure 1. Les tolérances habituelles sont ±10%, ±5%, voire encore plus strictes dans le cas des résistances de précision, généralement à des coûts plus élevés. Cette tolérance reflète l’écart acceptable par rapport à la valeur nominale, dû à la variabilité inhérente des processus de fabrication.

Figure 1. Codes de résistance incluant l’information des résistances et tolérances. Ce fichier est disponible sous licence Creative Commons CC0 1.0 Universal Public Domain Dedication via Wikimedia Commons.

La structure de la résistance à couche métallique a une influence plus importante qu’il n’y paraît. La Figure 2 montre qu’une résistance classique inclut un coeur en céramique, un film mince résistif, et souvent une découpe hélicoïdale pour régler finement la valeur de la résistance. La résistance dépend en premier lieu de la résistivité du film, de la géométrie du chemin conducteur, et de la précision avec laquelle il peut être découpé lors de la fabrication. Chacun de ces paramètres — épaisseur du film, largeur de la découpe en spirale, ou même les plus petits décalages — comporte un certain niveau d’incertitude. La Figure 3 illustre, conceptuellement, comment les variations de ces paramètres d’entrée peuvent mener à une distribution des valeurs de résistance. (Note: il s’agit d’un exemple simplifié à des fins d’illustration.)

Figure 2. Structure et composants de la couche métallique.

Figure 3. Illustration montrant comment les différentes distributions des paramètres d’entrée peuvent influencer la distribution de la résistance.

Pour les fabricants, maintenir un contrôle strict sur les valeurs de résistance signifie trouver l’équilibre adéquat entre la performance et les coûts. Cela implique de minimiser la variabilité dans les matériaux et procédés — de la régularité de la couche résistive jusqu’à la précision de la découpe hélicoïdale. Des variations, même subtiles, dans les conditions de fabrication, comme par exemple l’usure des outils ou des écarts de températures, peuvent impacter la résistance. Avec la quantification des incertitudes, les fabricants peuvent simuler l’influence de ces petites fluctuations sur les performances et identifier quels facteurs de production méritent d’être optimisés pour augmenter la productivité et obtenir une meilleure fiabilité des produits.

Pour les ingénieurs qui intègrent ces résistances dans des circuits, l’attention se porte sur l’influence de la variabilité des paramètres sur le comportement du circuit. Est-ce qu’une résistance avec une perte de 5% permettra toujours au diviseur de tension de fonctionner comme attendu? Qu’en est-il pour un circuit de temporisation s’appuyant sur des constantes RC précises? La quantification des incertitudes permet de fournir des réponses claires à ces questions de conception, en faisant apparaître la diversité et la probabilité des différents résultats — et ce avant même de construire un prototype.

Le module Uncertainty Quantification

Pour aller plus loin dans ce scénario, nous avons construit un modèle de résistance dans le logiciel COMSOL Multiphysics^® en utilisant l’interface Courants électriques, comme cela est montré dans la Figure 4. Une différence de potentiel a été appliquée entre les deux terminaux, et la résistance a été calculée à partir de la puissance dissipée. La résistance a été définie comme quantité d’intérêt (QoI), sous la forme V_0^2/\int qdV, où q représente la densité volumétrique de pertes. Nous avons ensuite réalisé une série d’études de quantification des incertitudes en utilisant le module Uncertainty Quantification.

Voici ce à quoi chaque type d’étude de ce module est destiné:

• Screening: Identifier rapidement quels sont les paramètres importants pour une résistance.
• Sensibilité: Quantifier l’importance de ces paramètres.
• Propagation: Voir l’impact sur le résultat. Quelle serait la distribution de la résistance en fonction de la distribution de chaque paramètre d’entrée?
• Fiabilité: Peut-on faire confiance au design? La probabilité que la résistance passe en dessous ou au-dessus d’une certaine valeur.

Figure 4. Modèle de résistance dans COMSOL Multiphysics.

Analyse de screening: Identifier les paramètres clés

La première étude UQ réalisée est une analyse de screening s’appuyant sur la méthode Morris one-at-a-time (MOAT). Cette étude prend en compte plusieurs paramètres d’entrée avec leurs distributions supposées, normales pour la plupart (Figure 5).

Figure 5. Paramètres d’entrée.

La Figure 6 montre les paramètres ayant le plus d’influence en termes de valeur moyenne MOAT; mettant en évidence le rayon (R), la hauteur (H), la conductivité (Sigma2) et la largeur de gravure, ou la largeur de la découpe hélicoïdale de carbone (Tcar). Cela correspond aux attentes théoriques et nous permet de mener les analyses suivantes en se concentrant uniquement sur ces variables clés, réduisant ainsi le coût de résolution.

Figure 6. La moyenne MOAT est proportionnelle à l’effet total d’un paramètre sur la quantité d’intérêt.

Analyse de sensibilité: Mesurer l’impact

Nous avons ensuite mené une analyse de sensibilité en utilisant un modèle de substitution de décomposition en chaos polynomial creux, automatiquement construit pour explorer efficacement tout l’espace des paramètres d’entrée. La Figure 7 montre les indices de Sobol, qui quantifient la contribution de chaque paramètre à la variance de la résistance. Le résultat indique que la hauteur (H) est le facteur le plus dominant, suivi de la conductivité (Sigma2) et de la largeur de gravure (Tcar).

Figure 7. Indice de Sobol vs paramètre d’entrée.

Propagation d’incertitude: Comprendre la distribution des résultats

Dans l’étude de quantification des incertitudes, nous réalisons un échantillonnage des distributions des paramètres et générons un graphique d’estimation de la densité de probabilité par noyau (KDE) (Figure 8). Ce graphique montre la distribution de probabilité de la valeur de la résistance. Le résultat donne au fabricant une vision réaliste de la variation potentielle de la résistance des différents échantillons produits. Le graphique montre que la densité de probabilité la plus grande se trouve autour d’une valeur de résistance de 50. D’après le tableau d’intervalle de confiance de la quantité d’intérêt, la valeur moyenne de la résistance prédite est de 50.099, et l’écart-type est de 2.5821.

Figure 8. Le graphique d’estimation de la densité par noyau (KDE).

Analyse de fiabilité: Quantifier le risque

Enfin, une analyse de fiabilité estime la probabilité que la résistance excède un seuil défini, ce qui est utile dans toute conception comportant des tolérances strictes. La Figure 9 montre la probabilité que la résistance dépasse une valeur définie, ce qui permet de quantifier le risque dès le début du processus de conception. Dans ce cas, la probabilité associée à cette condition sera d’environ 0.19, soit 19%.

Ensemble, ces quatre types d’études fournissent une compréhension approfondie de la manière dont la variabilité des données d’entrée affecte les performances de la résistance, de l’identification des paramètres ayant une influence à l’estimation de la probabilité de défaillance.

Figure 9. Probabilités des conditions.

Pour finir: Utiliser la quantification des incertitudes dans la conception de résistances

La quantification des incertitudes donne aux ingénieurs et fabricants les outils pour comprendre comment les variations dans les matériaux, la géométrie et les procédés affectent les performances. Que vous optimisiez le procédé de fabrication d’une résistance ou que vous évaluiez la stabilité de la conception d’un circuit, le module Uncertainty Quantification et COMSOL Multiphysics^® peuvent vous aider à identifier les variables les plus importantes, à estimer la variation des résultats, et à prendre des décisions basées sur les données pour équilibrer fiabilité et coûts.

Les ingénieurs utilisant des résistances du commerce peuvent également tirer parti des données de distribution de résistance fournies par les fabricants ou obtenues à partir de mesures. Plutôt que de traiter la résistance comme une valeur fixe, ils peuvent directement utiliser cette distribution dans une étude UQ de leur circuit. Cela permet d’évaluer la robustesse de la conception dès le début de la phase de développement: déterminer, par exemple, si la tolérance d’une résistance donnée affectera la temporisation, le gain ou seuil de signal — le tout avant de s’engager dans l’achat de matériel.

Prochaines étapes

Pour passer à la pratique avec le modèle présenté ici, cliquez sur le bouton ci-dessous:

• Pour une plus grande immersion, explorez le cours d’introduction à la quantification des incertitudes, comportant des exemples concrets basés sur des simulations, comme un modèle de bracket en acier
• Voyez un cas d’utilisation plus avancé dans cet article sur l’application du Module Uncertainty Quantification pour analyser la variation de fréquence d’un résonateur MEMS

Coupe du monde FIFA est une marque déposée de la Fédération Internationale de Football Association.