Introduction à la quantification inverse des incertitudes dans COMSOL^®

La réalisation d’études de quantification des incertitudes (UQ) permet aux ingénieurs de mieux comprendre l’influence des incertitudes sur les prévisions des modèles et les performances de conceptions. Lorsque des données expérimentales sont disponibles, la quantification inverse des incertitudes (IUQ) peut être utilisée pour calibrer les paramètres du modèle tout en tenant compte des incertitudes. Dans cet article de blog, nous montrons comment réaliser une étude d’IUQ avec le logiciel COMSOL Multiphysics^® et comment exploiter les “distributions a posteriori” obtenues, dans une étude de propagation d’incertitude.

Qu’est ce qu’une étude d’IUQ ?

Dans notre article de blog précédent “Quelle est la fiabilité de votre résistance?”, nous avons expliqué comment la propagation d’incertitude permet d’évaluer l’influence des variations des propriétés des matériaux, de la géométrie ou des procédés de fabrication sur les performances d’une résistance. Toutefois dans de nombreux cas, des données de mesure sont déjà disponibles (ex: des valeurs de résistance issues d’expériences). Il devient alors plus pertinent de calibrer les paramètres d’entrée, en particulier les propriétés des matériaux. Dans le logiciel COMSOL^®, l’IUQ permet d’effectuer cette opération en remontant des données recueillies vers les paramètres d’entrée inconnus. Elle combine la méthode des éléments finis et des modèles de substitution afin de calibrer efficacement les paramètres d’entrée.

Alors que l’estimation de paramètres vise à déterminer les valeurs des paramètres offrant le meilleur ajustement, la quantification inverse des incertitudes fournit une description probabiliste des paramètres de calibration, notamment de leurs plages de valeurs probables, de leurs niveaux de confiance et des corrélations qui les lient. En affinant les distributions des paramètres à partir des données de mesure, l’IUQ améliore la précision du modèle ainsi que sa capacité prédictive.

En outre, il est souvent recommandé de réaliser une IUQ lorsqu’on dispose de données expérimentales mais que la distribution des paramètres d’entrée est inconnue. Par exemple, après avoir identifié les paramètres les plus influents au moyen d’un screening ou d’une analyse de sensibilité, une étude d’IUQ permet d’estimer leurs “distributions a posteriori”. Ces distributions calibrées peuvent ensuite être utilisées comme distributions d’entrée dans une étude de propagation d’incertitude ou d’analyse de fiabilité. Cette démarche offre un cadre de travail plus réaliste, car les incertitudes utilisées pour les prédictions reposent à la fois sur les données expérimentales et sur les hypothèses a priori.

Dans cet article, nous verrons comment réaliser une étude d’IUQ et comment exploiter les “distributions a posteriori” obtenues, dans une étude de propagation d’incertitude avec le logiciel COMSOL^®.

Comprendre l’IUQ à l’aide d’un modèle de résistance

La quantification inverse des incertitudes permet d’estimer les paramètres de calibration en combinant les données expérimentales aux connaissances a priori. Elle peut être considérée comme une méthode d’estimation des paramètres basée sur une approche bayésienne, dans laquelle les mesures servent à mettre à jour les distributions des paramètres.

Les données expérimentales fournissent les grandeurs de référence que le modèle doit reproduire, par exemple les valeurs de résistance mesurées pour différentes tensions appliquées à un résistor. Au cours d’une étude d’IUQ, COMSOL^® évalue la vraisemblance de chaque jeu de paramètres en comparant les résultats des simulations à ces mesures.

Dans le logiciel, l’IUQ compare les données expérimentales aux prédictions d’un modèle de substitution entraîné à partir de simulations par éléments finis. Le modèle par éléments finis établit la relation physique entre les paramètres d’entrée incertains et les grandeurs mesurables, tandis que le modèle de substitution en fournit une approximation, ce qui permet d’explorer efficacement l’espace des paramètres.

Le processus de mise à jour bayésienne combine les “distributions a priori” avec une fonction de vraisemblance qui quantifie la concordance entre les prédictions du modèle de substitution et les données expérimentales. Les “distributions a posteriori” obtenues décrivent les valeurs les plus probables des paramètres de calibration ainsi que les incertitudes qui leur sont associées. Grâce à cette approche, l’IUQ permet de calibrer les propriétés des matériaux à partir des données expérimentales, de manière efficace en termes de calcul. Les données expérimentales influencent ainsi directement les distributions de paramètres déduites.

Procédure: réaliser une étude d’IUQ dans COMSOL^®

Définition du problème et mise en place du modèle par éléments finis et de l’étude d’IUQ

La première étape de la mise en place d’une étude d’IUQ consiste à créer un modèle basé sur la physique représentant le système étudié. Dans l’exemple du résistor présenté dans notre précédent article de blog, l’interface Courants électriques est utilisée pour calculer la résistance à partir des propriétés des matériaux et de la géométrie spécifiées. Deux conductivités, Sigma1 et Sigma2, définies dans différentes régions du résistor, sont retenues comme paramètres de calibration. Une étude stationnaire établit la relation directe entre les paramètres d’entrée et la grandeur de sortie, à savoir la résistance. Dans notre exemple d’IUQ, nous conserverons cette configuration.

L’étape suivante consiste à ajouter une étude Calcul d’incertitude, en utilisant l’Etude 1 comme étude de référence et en sélectionnant Quantification des incertitudes inverse comme type d’étude. Pour l’IUQ, il est possible d’utiliser comme modèle de substitution soit un processus gaussien, soit une décomposition en chaos polynomial. Dans cet exemple, nous retenons une décomposition en chaos polynomial creux et adaptatif. La variable comp1.Res, qui calcule la résistance du résistor, est définie comme quantité d’intérêt (QoI) et correspond à la grandeur de sortie de la simulation.

Figure 1. Réglages de l’étude Calcul d’incertitude, avec le type d’étude Quantification des incertitudes inverse sélectionné.

Définir les paramètres d’entrée du calcul d’incertitude et leurs “distributions a priori”

Dans la section Paramètres d’entrée, ajoutez les deux paramètres de calibration (Sigma1 et Sigma2) ainsi que le paramètre expérimental, à savoir la tension appliquée V0. Chaque valeur de V0 correspond à une expérience différente. Par conséquent, V0 est traité comme un paramètre expérimental et non comme un paramètre de calibration.

Définissez ensuite une “distribution a priori” pour chaque paramètre. Dans cet exemple, les paramètres Sigma1 et Sigma2 sont supposés suivre une loi normale. En revanche, une loi uniforme est attribuée au paramètre expérimental V0, les mesures étant effectuées sur une plage de tensions.

Figure 2. Paramètres d’entrée et “distributions a priori”.

Le paramètre expérimental V0 doit être inclus, car le modèle de substitution représente la réponse du système en fonction à la fois des paramètres de calibration et des conditions expérimentales. Les bornes de la distribution de V0 (par exemple, de 4.9 à 35.1 V) doivent couvrir la plage de tensions utilisée lors des expériences, par exemple de 5 à 35 V.

Préparer et importer les données expérimentales

Dans la section Réglages des données expérimentales, les valeurs expérimentales peuvent être renseignées sous forme de tableau. Des données de mesure externes peuvent également être importées à partir de fichiers, tels que des fichiers .txt ou .csv. Dans cet exemple, des pseudo-données expérimentales de résistance sont générées en calculant l’étude Stationnaire avec un balayage auxiliaire de la tension V0. Une variable représentant la résistance mesurée est alors définie comme suit

où Res désigne la résistance calculée à l’aide du modèle par éléments finis (FEM) et rn1() est une fonction aléatoire. Cette fonction ajoute du bruit de mesure aux valeurs de résistance simulées. Les valeurs de Res_measured évaluées en fonction de V0 sont ensuite sélectionnées dans le menu déroulantTableau de données expérimentales des réglages de l’étude d’IUQ.

Figure 3. Réglages des données expérimentales, montrant le choix Calibré pour le type d’incertitude de mesure.

Ici, V0 (le paramètre de tension) est sélectionné comme paramètre expérimental, tandis que les pseudo-données expérimentales, Res_measured, évaluées dans le noeud Evaluation globale, sont définies comme QoI.

Si le Type d’incertitude de mesure est défini sur Calibré, COMSOL^® estime automatiquement l’incertitude de mesure au cours de l’étude d’IUQ. En revanche, si l’option Données expérimentales est sélectionnée, l’incertitude de mesure doit être spécifiée explicitement.

Réglages de l’échantillonnage et du modèle de substitution

Dans les réglages de l’échantillonnage, il est possible de spécifier le nombre maximal de points d’entrée, qui détermine directement la taille du jeu de données d’apprentissage généré à partir des simulations FEM. Ces points d’entrée sont ensuite utilisés pour entraîner le modèle de substitution à partir des résultats des simulations FEM.

Remarque: dans cet exemple, avant d’exécuter l’étude d’IUQ, il convient de désactiver le balayage auxiliaire dans l’étape Stationnaire.

Résultats de l’IUQ

L’étude d’IUQ produit la distribution de probabilité conjointe ainsi que les intervalles de confiance calibrés, présentés respectivement sur les Figures 4 et 5. La Figure 6 compare les “distributions a priori et a posteriori” de Sigma1 et Sigma2, illustrant la manière dont les données expérimentales affinent l’estimation des paramètres et réduisent les incertitudes, en particulier pour Sigma2. Il convient de noter que Sigma1 correspond à la conductivité du matériau résistif et que la résistance est peu sensible à ce paramètre, comme l’a montré l’analyse de screening précédente. Les “distributions a priori et a posteriori” de Sigma1 sont donc très similaires.

Figure 4. Distribution de probabilité conjointe pour les échantillons générés par la méthode de Monte Carlo par chaînes de Markov (MCMC).

Figure 5. Les intervalles de confiance calibrés.

Figure 6. Comparaison des “distributions a priori et a posteriori”de Sigma1 et Sigma2.

Utiliser les “distributions a posteriori” dans une étude de propagation d’incertitude

Les “distributions a posteriori” obtenues à l’issue d’une étude d’IUQ peuvent être réutilisées directement dans une étude de propagation d’incertitude. Pour les exploiter, la première étape consiste à ajouter une nouvelle étude Calcul d’incertitude de type Propagation d’incertitude à partir d’une étude d’IUQ.

Figure 7. Ajouter une nouvelle étude UQ pour la propagation d’incertitude.

Un nouveau tableau de Quantités d’intérêt est créé automatiquement et est identique à celui utilisé pour l’étude d’IUQ. Étant donné que la même QoI, comp1.Res, est évaluée, il est possible de sélectionner au choix l’une des options Analyser uniquement ou Améliorer et analyser. La première réutilise les données existantes issues des simulations FEM pour entraîner le nouveau modèle de substitution, par exemple un nouveau Processus gaussien, tandis que la seconde permet d’effectuer des simulations supplémentaires ou d’ajouter de nouveaux points d’entrée afin d’améliorer le modèle de substitution. Par souci de simplicité, nous utiliserons l’option Analyser uniquement pour les études de propagation d’incertitude.

Par défaut, un nouveau modèle de substitution fondé sur un Processus gaussien est généré, il servira de modèle de substitution pour cette nouvelle étude de propagation d’incertitude. Activez ensuite ce nouveau Processus gaussien, puis cliquez sur Entraîner le modèle. A travers ces étapes, les “distributions a posteriori” obtenues à partir des échantillons MCMC peuvent être ajoutées à l’étude de propagation d’incertitude.

Figure 8. Réglages du modèle de substitution Processus gaussien.

Il convient de noter que les distributions définies dans la section Paramètres d’entrée peuvent être ignorées pour cette étude de propagation d’incertitude. En effet, les “distributions a posteriori” obtenues lors de l’étude d’IUQ définissent à elles seules l’espace d’échantillonnage. Aucune hypothèse (a priori) supplémentaire n’est donc nécessaire pour l’échantillonnage réalisé dans le cadre de cette étude de propagation d’incertitude.

Dans la section Analyse de Monte Carlo basée sur un modèle de substitution, sélectionnez Manuel comme source de paramètres Monte Carlo. Pour chacun des paramètres de calibration, Sigma1 et Sigma2, sélectionnez Données comme type de source, Tableau de résultats comme source des données, puis la colonne correspondante du tableau des échantillons MCMC pour chaque paramètre.

Notez qu’une seule condition de fonctionnement peut être sélectionnée pour V0, et c’est la valeur nominale de 1 V.

Figure 9. Réglages de la section Analyse de Monte Carlo basée sur le modèle de substitution pour exploiter les “distributions a posteriori”.

Une fois cette étude de propagation d’incertitude terminée, il est possible de générer un graphique d’estimation de la densité du noyau à partir des “distributions a posteriori”. Cette estimation de densité reflète la propagation d’incertitude associées aux distributions calibrées des paramètres. La Figure 10 montre que la densité de probabilité de la résistance est maximale aux alentours de 50 \Omega. D’après le tableau des intervalles de confiance de la QoI (non représenté ici), la valeur moyenne prédite de la résistance est de 49.975 \Omega, avec un écart type de 0.0957 \Omega.

De la même manière, une analyse de fiabilité peut être réalisée en utilisant les “distributions a posteriori” définies dans la section Analyse de Monte Carlo basée sur un modèle de substitution (Figure 9). Par exemple, les probabilités que la résistance dépasse 50.25 \Omega et 52.5 \Omega sont d’environ 2.55 % et 0%, respectivement. Ces probabilités quantifient le risque de dépassement des seuils de résistance spécifiés. En d’autres termes, elles montrent que ce résistor présente une fiabilité élevée pour les applications exigeant une résistance proche de 50 \Omega.

Figure 10. Graphique d’estimation de la densité du noyau obtenu à partir des “distributions a posteriori”.

Une procédure de calibration et de propagation d’incertitude basée sur les données

La quantification inverse des incertitudes fournit une approche systématique pour calibrer les paramètres d’entrée incertains à partir de données expérimentales. En combinant la modélisation par éléments finis, les modèles de substitution et la mise à jour bayésienne, l’IUQ transforme les “distributions a priori” en “distributions a posteriori” qui représentent plus fidèlement le système physique.

Lorsque ces “distributions a posteriori” sont ensuite utilisées dans une étude de propagation d’incertitude, les prédictions deviennent plus réalistes et davantage basées sur les données expérimentales. Au lieu de s’appuyer sur des variations supposées des paramètres, la propagation d’incertitude repose sur des distributions de paramètres calibrées qui tiennent compte à la fois des mesures expérimentales et du modèle physique.

Cette démarche, qui associe une étude d’IUQ à une étude de propagation d’incertitude, permet d’obtenir des prédictions plus fiables, de renforcer la confiance dans les résultats de simulation et de mieux comprendre l’influence des incertitudes des paramètres sur les performances du système. L’ensemble de cette procédure, depuis la calibration du modèle jusqu’à la propagation d’incertitude, peut être mis en oeuvre directement dans l’interface utilisateur dédiée du logiciel COMSOL^®, sans avoir à recourir à d’autres outils.

Prochaine étape

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