Les ondes acoustiques de surface sont capables de générer un streaming à l’intérieur d’une gouttelette, permettant ainsi un mélange sans contact, ce qui constitue une application utile dans le domaine de la microfluidique. En raison de la nature multiphysique du streaming dans les gouttelettes, une étude numérique repose souvent sur plusieurs hypothèses afin de ne saisir qu’une partie du phénomène. Dans cet article de blog, nous allons établir une vue d’ensemble de ce phénomène en modélisant le streaming, de l’application du potentiel électrique jusqu’à la génération de l’écoulement, à l’aide du logiciel COMSOL Multiphysics®.
Streaming induit par des ondes acoustiques de surface
Lorsqu’une tension alternative est appliquée à la surface d’un matériau piézoélectrique, cela génère une déformation déterminée par le champ électrique, et des ondes commencent à se propager à la surface. Ces ondes sont appelées ondes acoustiques de surface (SAW, pour Surface Acoustic Waves); on les distingue par la manière dont le matériau se déforme par rapport aux directions de propagation et à la direction normale. Il existe deux types d’ondes acoustiques de surface: les ondes de Rayleigh et les ondes de Love. Cet article de blog se concentre sur les ondes de Rayleigh, qui provoquent une déformation de la surface dans la direction normale. Pour générer les SAW sur le substrat, on utilise généralement un ensemble de bornes en forme de peigne, ou transducteurs interdigités (IDT, pour interdigital transducers), afin d’appliquer un potentiel électrique alternatif. Les IDT peuvent à la fois générer et recevoir les ondes acoustiques de surface. Lorsqu’ils sont utilisés comme filtre dans des composants électriques, un jeu supplémentaire de bornes est placé sur le trajet des ondes acoustiques de surface générées. Les deux bornes de l’IDT du côté récepteur présenteront des potentiels électriques différents en fonction de la contrainte subie par le substrat, ce qui permet de déterminer les informations relatives à l’oscillation.
Au lieu de placer le deuxième IDT à la surface en tant que récepteur, nous allons placer une gouttelette sur le trajet de propagation. La gouttelette commencera à interagir avec les ondes acoustiques de surface et à absorber leur énergie. Les SAW s’atténuent à mesure qu’elles se propagent sous la gouttelette; on les appelle “ondes LSAW” (Leaky Surface Acoustic Waves) en raison de ce comportement. L’énergie est rayonnée vers la gouttelette sous forme d’ondes de volume selon un angle d’incidence appelé angle de Rayleigh. Dans la gouttelette, les ondes incidentes se réfléchissent sur la surface libre de la gouttelette tout en perdant de l’énergie par dissipation visqueuse, ce qui finit par créer une composante d’écoulement circulaire stationnaire appelée streaming acoustique. Nous pouvons induire un écoulement stationnaire simplement par des oscillations. Cela joue un rôle important dans le domaine de la microfluidique, car nous pouvons améliorer le mélange à l’intérieur de la gouttelette sans avoir à y introduire physiquement un élément pour la remuer; cette méthode est non invasive. Le streaming qui en résulte peut présenter différentes formes d’écoulement à l’intérieur de la gouttelette en fonction de l’énergie des ondes, des dimensions du système, des propriétés matériaux de la gouttelette, etc.
Schéma du streaming induit par les SAW (lignes bleues ondulées) partant de l’IDT. Une fois qu’elles atteignent la gouttelette, l’énergie est transférée à celle-ci (flèche jaune continue), puis le streaming se produit (flèche jaune en pointillés).
Comme nous l’avons vu jusqu’à présent, le streaming des gouttelettes fait intervenir plusieurs domaines de la physique. En raison de leur complexité, ces facteurs sont souvent modélisés séparément en divisant le processus en plusieurs étapes. Il convient de noter que l’analyse du champ acoustique dans une gouttelette mobilise une quantité considérable de mémoire vive (dans les conditions actuelles), contrairement à l’analyse des autres champs. Nous utiliserons COMSOL Multiphysics® pour gérer cette complexité et créer un modèle couvrant l’ensemble du processus de transfert d’énergie dans le système. Dans ce modèle, la gouttelette a un diamètre de mouillage d’environ 2 mm et un angle de contact de 78° avec la surface solide. Le dispositif SAW est excité à une fréquence de 20.37 MHz. On suppose que la gouttelette est un mélange de glycérol et d’eau, et les propriétés du cristal piézoélectrique sont tirées des données relatives au niobate de lithium figurant dans la bibliothèque des matériaux piézoélectriques. À titre de référence, les valeurs et la configuration sont similaires à celles utilisées dans l’article intitulé: « On the Influence of Viscosity and Caustics on Acoustic Streaming in Sessile Droplets: An Experimental and a Numerical Study with a Cost-Effective Method » (Ref. 1).
Mise en place du modèle de streaming dans la configuration 2D
Nous allons tout d’abord examiner à quoi ressemble le modèle en 2D. Nous savons que le streaming présente une structure tridimensionnelle en raison de la forme hémisphérique d’une gouttelette, mais il est toujours judicieux de commencer par créer un modèle en 2D afin de vérifier que les paramètres et les lois physiques nécessaires sont bien définis et que le phénomène que nous souhaitons modéliser se produit bien dans le cadre de l’approximation bidimensionnelle. Pour la simulation en 2D, nous utiliserons le même plan de coupe que celui du schéma présenté ci-dessus. Nous utiliserons les interfaces Electrostatique, Mécanique du solide, Pression acoustique et Ecoulement de Stokes pour générer les ondes acoustiques de surface, et nous utiliserons le noeud multiphysique Streaming acoustique, couplage sur domaine pour modéliser le streaming. Étant donné que les échelles de temps sont très différentes entre l’oscillation et l’écoulement, la simulation est réalisée en deux étapes: une étude en Domaine fréquentiel et une étude Stationnaire.
Dans l’analyse piézoélectrique, il est nécessaire de tenir compte de la coupe cristalline du matériau piézoélectrique. Dans ce modèle, un niobate de lithium (LiNbO3) à coupe YX de 128° est utilisé pour le substrat; l’angle de rotation doit donc être pris en compte dans les propriétés du matériau. Les fonctionnalités de COMSOL Multiphysics® nous permettent de prendre en compte l’angle de la coupe cristalline en définissant un système de coordonnées à l’aide, par exemple, de la fonctionnalité Repère après rotation et en spécifiant ce système de coordonnées dans le noeud Matériau piézoélectrique de l’interface Mécanique du solide. Nous proposons également un exemple dans la Bibliothèque d’Applications qui présente les systèmes de coordonnées: Euler Angle Rotation in Surface Acoustic wave Modeling. Notez que les angles sont définis différemment dans le modèle de la Bibliothèque d’Applications pour un composant 2D (plan sagittal XY) par rapport à un composant 3D (plan sagittal XZ). Plus loin dans cet article, nous créerons un modèle 3D avec le plan XZ comme plan sagittal.
Réglages de la fonctionnalité Repère après rotation dans le modèle 2D. Dans le modèle 3D, la valeur de β est définie sur -38[deg].
Nous devons également nous assurer qu’un mécanisme de perte approprié est pris en compte dans le noeud Pression acoustique. Dans la configuration actuelle, c’est principalement un phénomène appelé “Eckart streaming” qui détermine le flux à l’intérieur de la gouttelette. Par conséquent, l’atténuation globale de l’onde sonore doit être modélisée pour en tenir compte. Le Modèle de fluide dans le noeud Pression acoustique spécifie le type d’atténuation que subiront les ondes acoustiques. Ici, nous choisissons simplement Visqueux. Si nous avions laissé Elastique linéaire sélectionné (option par défaut), nous n’aurions observé aucun résultat de streaming.
Un dernier point à vérifier concerne les réglages des Valeurs des variables non résolues dans l’étape Stationnaire. Dans l’analyse du streaming, la fonctionnalité Streaming acoustique, couplage sur domaine couple les études Domaine fréquentiel et Stationnaire. Lorsque le couplage est activé dans une étude Stationnaire, il se réfère aux variables résolues dans une étude Domaine fréquentiel pour calculer les termes contribuant au streaming. Comme nous utilisons plusieurs noeuds d’étude, le couplage ne sait pas quelle solution contient les données en domaine fréquentiel qui nous intéressent; nous devons donc le préciser dans les réglages de l’étude.
Lançons maintenant successivement les études Domaine fréquentiel et Stationnaire. Le résultat devrait présenter des distributions similaires à celles des images ci-dessous. L’IDT est placé à gauche de la gouttelette, en-dehors du cadre des images. Des ondes SAW sont générées sur le matériau piézoélectrique et se déplacent vers la droite. La direction de propagation des ondes peut être vérifiée plus clairement à l’aide de la fonctionnalité Animation avec une Extension de variable dynamique. Les ondes de surface deviennent presque invisibles après avoir parcouru plus de la moitié de la zone de contact. En revanche, les ondes de volume dans la gouttelette se propagent vers le haut et vers la droite, ce qui entraîne un profil de pression complexe. Comme on pouvait s’y attendre, le champ d’écoulement est également confirmé par les résultats en régime stationnaire. On observe un grand vortex sur l’ensemble du domaine, mais il convient de noter que ce phénomène pourrait être spécifique à la 2D. En effet, dans une configuration 2D, il n’est pas possible de simuler un vortex dont l’axe n’est pas perpendiculaire à l’écran. Il n’en reste pas moins que le fait d’avoir mis au point un modèle SAW induisant un streaming similaire à celui escompté constitue un bon point de départ. Passons maintenant au modèle 3D.
Résultats obtenus à partir du modèle 2D. Contraintes dans le substrat et pression acoustique dans la gouttelette (à gauche); déplacement du substrat et distribution de la vitesse de l’écoulement dans la gouttelette (à droite).
Réduire la consommation de mémoire vive (RAM) dans la configuration 3D
Malgré la différence de dimension, de la 2D à la 3D, les principes de la simulation restent les mêmes. Nous utilisons les mêmes interfaces avec les mêmes couplages multiphysiques. Ce qui diffère du modèle 2D, ce sont les ressources de calcul requises. La dimension géométrique du modèle 3D est bien supérieure à la longueur d’onde, et il est très probable que des problèmes de mémoire puissent survenir. Non seulement le calcul serait plus long, mais il faudrait également réduire la consommation de mémoire afin que le modèle puisse tenir dans la mémoire vive (RAM) de l’ordinateur.
Tout d’abord, nous pouvons simplifier la géométrie dans une configuration qui n’affectera pas les résultats de manière significative. Dans le modèle 3D, l’IDT est modélisé comme plusieurs ensembles de bornes 2D rectangulaires simples disposées en parallèle. De plus, la gouttelette et le substrat sont coupés en deux par le plan médian afin de réduire de moitié le nombre de degrés de liberté (DDL). Une condition périodique est utilisée pour la direction transversale du piézo, tandis qu’une condition aux limites de symétrie est appliquée à la goutte. Il s’agit d’une bonne approximation physique, en particulier lorsque l’on s’intéresse au champ d’écoulement dans la gouttelette. Il faudrait élargir le domaine du substrat si le modèle présentait de fortes variations dans la direction transversale.
Deuxièmement, étant donné que le niveau de discrétisation requis pour modéliser les ondes diffèrent entre la gouttelette et le substrat, nous utiliserons des maillages et des tailles d’élément distincts pour chacun. Pour ce faire, nous utiliserons la méthode Constituer un assemblage à la place de la méthode Constituer une union dans la séquence de géométrie. Cette fonctionnalité permettra au modèle de comporter plusieurs objets géométriques dans un composant, de mailler chaque objet séparément et de les relier à l’aide de la fonctionnalité dite Paire qui couple des maillages non conformes. N’oubliez pas d’utiliser l’opération Union lorsque cela est possible, afin que le logiciel puisse reconnaître que certaines instances géométriques appartiennent à un seul objet. Les domaines appartenant au même objet auront un maillage conforme, et aucune paire ne sera définie entre eux.
Vue agrandie du maillage non conforme près du bord d’attaque de la gouttelette.
Enfin, nous devons utiliser un solveur itératif pour réduire la consommation de mémoire vive dans l’étude Domaine fréquentiel. Des recommandations générales concernant les réglages des solveurs itératifs pour les études acoustiques sont disponibles dans la section Solving Large Acoustics Problems Using Iterative Solvers du Guide d’utilisation du module Acoustics. Dans ce modèle, le nombre de degrés de liberté pour les interfaces Electrostatique et Mécanique du solide est bien inférieur à celui de l’interface Pression acoustique, et les solveurs directs devraient bien fonctionner pour résoudre les champs de potentiel électrique et de déplacement des solides. Par conséquent, nous activons les préconditionneurs hybrides et utilisons un Préconditionneur direct pour les variables dépendantes des interfaces Electrostatique et Mécanique du solide. Grâce à cette fonctionnalité, nous pouvons utiliser un solveur direct pour les champs nécessitant peu de mémoire, tout en appliquant des solveurs adaptés aux autres champs nécessitant beaucoup plus de mémoire. Si le modèle ne comportait pas de domaine piézoélectrique, nous pourrions utiliser un solveur Ségrégé afin de réduire encore davantage la consommation de mémoire vive. Cependant, comme expliqué dans la section Solving Large Acoustic–Structure Interaction Models de la documentation du Guide d’utilisation du module Acoustics, les modèles d’interaction acoustique-structure avec piézoélectricité doivent utiliser le solveur Couplage fort, de sorte que le solveur linéaire soit la seule partie à ajuster. La partie acoustique des équations utilise l’approche “Shifted Laplace”, qui permet d’améliorer l’efficacité du préconditionneur multigrilles.
La fenêtre de réglages du Préconditionneur direct dans le modèle 3D. Notez que l’hybridation est activée en sélectionnant Préconditionneur multi dans la section Hybridation.
À l’heure actuelle, l’étude Domaine fréquentiel est résolue en environ 1 heure et 10 minutes avec 130 Go de RAM dans notre configuration. Cependant, même une fois l’étude terminée, il y a un aspect à ne pas négliger: le rendu graphique. Dans un modèle volumineux, la génération du rendu d’un résultat peut prendre beaucoup de temps. Pour simplifier le travail avec des modèles volumineux, il est recommandé de cocher la case Afficher sur demande dans la fenêtre de réglages du noeud Résultats.
Les résultats ci-dessous montrent clairement l’influence de la géométrie 3D. Le profil de pression présente désormais un pic plus marqué dans la coupe médiane que dans le résultat 2D. De plus, bien que cela soit un peu difficile à discerner sur une seule image, un petit tourbillon se forme près du bord d’attaque, tandis que le reste de la gouttelette est occupé par un grand tourbillon. Ces résultats concordent bien avec la référence, où une simulation 3D a été réalisée en décomposant le calcul en sous-problèmes 2D. Dans notre modèle, nous avons adopté une approche assez simple; nous pouvons donc simplement mettre en place une modélisation multiphysique en apportant quelques modifications dans les réglages. La stratégie consistant à utiliser un maillage non conforme et un solveur itératif fonctionnerait également pour d’autres problèmes nécessitant beaucoup de ressources, tels que des dispositifs MEMS complexes.
Résultats calculés à partir du modèle 3D. Contraintes à la surface du substrat et pression acoustique dans la gouttelette (à gauche); lignes de courant colorées en fonction de la norme de la vitesse (à droite).
À vous de jouer
Dans cet article de blog, nous avons abordé la complexité de la modélisation de l’écoulement dans une gouttelette ainsi que les phénomènes multiphysiques impliqués, à l’aide de modèles 2D et 3D. Nous avons observé les interactions entre les interfaces physiques, même avec le modèle 2D, qui a été résolu rapidement. L’extension d’un modèle 2D vers un modèle 3D peut parfois s’avérer difficile; cela peut nécessiter une méthode d’essai-erreur pour déterminer quelle configuration fonctionne pour chaque modèle. Nous espérons que la stratégie actuelle vous sera utile pour résoudre votre problème multiphysique. Les modèles sont disponibles via les liens suivants:
Comme indiqué plus haut, les matériaux piézoélectriques sont fréquemment utilisés pour générer les ondes acoustiques de surface, mais la définition de leurs propriétés nécessite une attention particulière en ce qui concerne le système de coordonnées. De plus, la conception des IDT est étroitement liée à la vitesse d’onde à générer; il est donc également important de vérifier si les ondes de surface sont générées comme prévu. Les modèles suivants constituent des références utiles pour tester votre configuration d’ondes de surface avant de construire un modèle complexe:
- Euler Angle Rotation in Surface Acoustic Wave Modeling
- Surface Acoustic Wave Velocity Calculations from a Unit Cell
Cet article de blog ne mentionne pas le mouvement des particules dans l’écoulement. Pour modéliser la manipulation acoustique de certains corps, tel que des particules en mouvement, il peut également être nécessaire de prendre en compte la force de rayonnement acoustique exercée sur les particules. L’interface Suivi de particules pour écoulement fluide inclut cette fonctionnalité dans le noeud Force de rayonnement acoustophorétique, qui peut être utilisée conjointement avec le noeud Force de traînée. Cette utilisation combinée prendra en compte simultanément la force due à la composante d’écoulement stationnaire. Les modèles suivants pourraient servir de point de départ pour de telles applications:
- Acoustic Streaming in a Microchannel Cross Section
- 3D Acoustic Trap and Thermoacoustic Streaming in a Glass Capillary
Référence
- A. Riaud et al., “On the Influence of Viscosity and Caustics on Acoustic Streaming in Sessile Droplets: An Experimental and a Numerical Study with a Cost-Effective Method,” Journal of Fluid Mechanics, vol. 821, pp. 384–420, 2017. DOI: https://doi.org/10.1017/jfm.2017.178
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